費用関数

記号の書き方に注目してください。可変費用だけが $VC(x)$ と $x$ を伴っています。これは「生産量の関数である」ことを示すためで、固定費用が単に $FC$ と書かれるのは、生産量に左右されないただの定数だからです。この書き分けは形式的なようでいて、後の計算でどちらを微分するのかを間違えないための目印になります。

したがって、総費用は次のように分解できます。

$C(x) = VC(x) + FC$

③ サンクコスト（埋没費用）

固定費用のうち、いったん支払ってしまうともう取り戻せない部分をサンクコスト（埋没費用）と呼びます。日本語では埋没費用と訳され、事業に投じた資金のうち、生産を縮小したり事業から撤退したりしても回収できない金額を指します。

たとえば鉄道事業を考えてみましょう。線路やトンネル、駅舎には巨額の初期投資が必要ですが、これらを他の用途に転用したり売却したりすることはほとんどできません。「やめるから線路を返品して代金を返してほしい」とはいかないわけです。このように初期投資が大きく、しかも設備の使い道が限られている事業では、サンクコストが大きくなります。

一方、汎用的なトラックや一般的なオフィス用のパソコンであれば、事業をたたむときに中古市場で売却できます。この場合、支払った固定費用のすべてがサンクコストになるわけではありません。

④ サンクコストは意思決定から外す

サンクコストが試験で問われるのは、「これから何をするか」を決めるときにサンクコストを考慮してはいけないという点です。すでに支払ってしまい取り返せない金額は、これから先どの選択肢を選んでも同じだけ失われています。同じだけ失われるものは、選択肢を比べるときの判断材料になりません。

にもかかわらず「ここまで投資したのだから今さらやめられない」と考えてしまうことを、行動経済学ではサンクコストの誤謬（コンコルド効果）と呼びます。診断士の実務でも、赤字の事業から撤退できない企業を説得する場面で顔を出す考え方です。

この月の集計は次のとおりです。

• 可変費用 $VC = 40 + 30 = 70$ 万円
• 固定費用 $FC = 25 + 15 + 30 = 70$ 万円
• 総費用 $C = 70 + 70 = 140$ 万円

サンクコストはどこにあるか

この店が開業時に、店舗の内装工事に600万円をかけていたとします。内装は取り外して売ることができないため、この600万円は丸ごとサンクコストです。

いま「来月で店を閉めるべきか」を検討しているとしましょう。判断に使ってよい情報は、来月以降に発生する収入と費用だけです。

• 来月の見込み売上 150万円、来月の見込み総費用 140万円 → 差引 $+10$ 万円

内装の600万円は、閉めても続けても戻ってきません。したがって「600万円も注ぎ込んだのだから」という理由で赤字事業を続けるのは誤りであり、逆に「600万円を回収できていないから閉めよう」というのも誤りです。来月の差引が $+10$ 万円で黒字である以上、続けるほうが合理的だ、というのがミクロ経済学の答えになります。

この結果、可変費用曲線は最初は勢いよく立ち上がってから寝て、途中の点 $x_1$ を境にまた立ち上がる、という逆S字型を描きます。アルファベットのSを左右に反転させた形だと思ってください。

③ なぜ逆S字になるのか

この形は天下り的に与えられる仮定ですが、背後にある物語を知っておくと記憶に残ります。

生産量が少ない段階（習熟の効果） 操業を始めたばかりの時期は、従業員がまだ作業に慣れておらず、高価な機械も性能を出し切れていません。ところが生産を続けるうちに作業の手順が身につき、機械の扱いにも習熟していきます。その結果、1単位余分につくるために追加で必要な費用は、だんだん少なくて済むようになります。だから曲線の傾きは緩やかになっていきます。

生産量が多い段階（設備の限界） ある水準を超えると、従業員の腕は十分に上がり、機械もフル稼働の状態に入ります。ここからさらに生産を増やそうとすると、人を追加で雇っても機械が空くのを待つ時間が生まれ、残業代の割増や設備の無理な稼働による故障も出てきます。生産量の伸び率よりも費用の伸び率のほうが大きくなり、曲線の傾きは急になっていきます。

④ 変曲点 $x_1$ の意味

曲線の曲がり方が「上に凸」から「下に凸」へ切り替わる点が変曲点 $x_1$ です。この点は、追加1単位あたりの費用（後の節で学ぶ限界費用）が最も小さくなる生産量にあたります。いまは「限界費用が底を打つ場所」とだけ覚えておけば十分です。次節で限界費用曲線がU字型になる理由が、まさにこの変曲点から導かれます。

なお、生産量と費用の組合せは無数に存在すると考えるため、点ではなく連続した線として描かれます。生産量は1個2個と数えるものでも、理論上は切れ目なく変化するものとして扱うのが経済学の作法です。

グラフ上で「$C(x)$ と $VC(x)$ の縦の距離は常に等しい」という性質は、図から数値を読み取らせる問題でそのまま使えます。

② 数値例で確かめる

可変費用関数を $VC(x) = x^3 - 2x^2 + 2x$、固定費用を $FC = 8$ とすると、費用関数は

$C(x) = VC(x) + FC = x^3 - 2x^2 + 2x + 8$

となります。冒頭で示した3次関数の正体はこれでした。3次関数が使われるのは、逆S字型という形を数式で表現するのにちょうどよい最も簡単な形だからです。

この式に $x = 2$ を代入すると、

$C(2) = 8 - 8 + 4 + 8 = 12$

となり、生産量が2のときの総費用は12であることがわかります。

③ 式から固定費用を読み取る

費用関数が与えられたとき、固定費用は定数項を見ればすぐわかります。$C(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 8$ なら $FC = 8$

理由も単純で、$x = 0$ を代入すると $x$ を含む項がすべて消え、定数項だけが残るからです。

$C(0) = 0 - 0 + 0 + 8 = 8 = FC$

「生産量ゼロのときの費用が固定費用」という定義が、そのまま計算手順になっているわけです。試験でも、与えられた費用関数から固定費用と可変費用を切り分けさせる問題は頻出します。

④ 総費用曲線から先に何が見えるか

総費用曲線が描ければ、次節以降で学ぶ主要な費用概念はすべてこの1本の曲線から読み取れます。

いまはまだ細かく理解する必要はありませんが、「1本の総費用曲線に、直線の傾きという形ですべての情報が埋め込まれている」という見通しを持っておくと、次節がぐっと楽になります。

生産量が $x_B$ のときを例にとれば、売上高は $R(x_B)$、総費用は $C(x_B)$、変動費は $C(x_B) - FC$、利益は $R(x_B) - C(x_B)$ にあたります。

② ミクロ経済学が置く仮定との違い

ミクロ経済学では、可変費用曲線の形状を逆S字型と仮定します。損益分岐図表が直線だったのに対して、こちらは曲線です。収入 $R(x)$ のほうは価格が一定であれば原点を通る直線で、これは両者で共通しています。

つまり2つの図の違いは、収入の側ではなく費用の仮定の置き方から生まれています。この違いは単なる描き方の好みの問題ではなく、企業行動の結論そのものを変えてしまいます。

③ 「最適な生産量が決まるか」という決定的な差

総費用線が右上がりの直線の場合を考えましょう。損益分岐点を超えたあとは、生産量を増やせば増やすほど売上高線と総費用線の差は開き続けます。つまり利益は青天井に増えていきます。この仮定のもとでは、利潤最大化の答えは「生産量をできる限り大きくする」となり、どこかで止まる理由がありません。

これに対して総費用曲線が逆S字型の場合はどうでしょうか。生産量が少ないうちは総費用の伸びが緩やかなので、収入線が総費用曲線を追い越して利益が出ます。ところが生産量がある水準を超えると費用が加速度的にふくらみ、$x_B$ を超えたところで総費用曲線が収入線を再び上回ってしまいます。つまりつくりすぎると赤字になるのです。

その結果、収入線と総費用曲線の縦の差が最も大きくなる生産量がただ1点だけ存在します。企業はそこを狙って生産量を決めることになり、「利潤を最大にする適正な生産量を決定する」という分析が成り立ちます。

④ 2つの図の使い分け

どちらが正しいということではなく、目的に応じた仮定の置き方の違いです。短期の予算管理では比例仮定で十分実用に耐えますし、市場全体の均衡を論じるには逆S字型のほうが現実の生産技術をよく写し取ります。診断士試験では両方を学ぶので、混同しないよう「財務は直線、ミクロは逆S字」と頭のなかで札を貼っておきましょう。