費用に関する諸概念

ここで $C(x) = VC(x) + FC$ を代入すると、平均費用はさらに2つに分解できます。

$AC(x) = \dfrac{VC(x)}{x} + \dfrac{FC}{x}$

右辺の第1項が平均可変費用、第2項が平均固定費用です。つまり平均費用は「1個あたりの可変費用」と「1個あたりの固定費用」を足したものだということになります。この分解は後で何度も使うので、いまここで押さえておいてください。

② 数値例で確認する

費用関数を $C(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 8$ とすると、平均費用は各項を $x$ で割って

$AC(x) = \dfrac{C(x)}{x} = x^2 - 2x + 2 + \dfrac{8}{x}$

と表せます。最後の $\frac{8}{x}$ が平均固定費用にあたり、生産量が増えるほど小さくなっていく項です。固定費用を多くの製品で分け合うほど、1個あたりの負担が軽くなる、という現実そのままの形になっています。

③ 平均費用は原点と結んだ直線の傾き

ここからがこの節の要点です。総費用曲線を描いたグラフの上で、ある生産量 $x_A$ に対応する曲線上の点を A とします。このとき、原点 O と点 A を結んだ直線の傾きが、そのまま $x_A$ における平均費用になります。

なぜでしょうか。直線の傾きは「タテの変化 ÷ ヨコの変化」で求められます。原点から点 A まで進むとき、ヨコには $x_A$ だけ、タテには $C(x_A)$ だけ進みます。したがって

$\text{OA の傾き} = \dfrac{\text{A の高さ}}{x_A} = \dfrac{C(x_A)}{x_A} = AC(x_A)$

となり、平均費用の定義式そのものになるわけです。

④ 平均費用曲線（U字型）の導出

この作業をすべての生産量について繰り返し、得られた $AC(x)$ の値を別のグラフに描き移していくと、平均費用曲線が得られます。総費用曲線が逆S字型のとき、平均費用曲線はU字型になります。

なぜU字になるかは、原点から引いた直線の傾きが生産量とともにどう変わるかを追えばわかります。生産量が小さいうちは、固定費用を少ない個数で分け合うため1個あたりの負担が重く、直線は急な角度で立っています。生産量が増えるにつれて直線はだんだん寝ていき、傾きは小さくなります。ところがある生産量を過ぎると、今度は費用そのものが急激にふくらむため、直線は再び立ち上がります。この「下がってから上がる」という動きがU字型を生み出します。

⑤ 平均費用が最小になる点

直線の傾きが最も小さくなるのは、原点を通る直線が総費用曲線に接するところです。接する位置より手前でも先でも、直線は必ずそれより急になります。したがって、

原点を通る直線と総費用曲線との接点において、平均費用は最小になる

という性質が成り立ちます。この接点は後の節で損益分岐点と呼ばれる点になりますので、いまのうちに図の上で場所を覚えておくと得をします。

平均費用との違いは、固定費用を含むかどうかの一点だけです。固定費用は操業を止めても発生してしまう費用なので、「操業を続けるかどうか」を判断する場面では、あえて固定費用を除いた $AVC$ を見る必要があります。この使い分けが第3節の操業停止点につながります。

② 数値例で確認する

可変費用を $VC(x) = x^3 - 2x^2 + 2x$ とすると、各項を $x$ で割って

$AVC(x) = \dfrac{VC(x)}{x} = x^2 - 2x + 2$

となります。平均費用 $AC(x) = x^2 - 2x + 2 + \frac{8}{x}$ と見比べてください。違いは $\frac{8}{x}$ の項だけです。

③ 平均可変費用は「FCから引いた直線」の傾き

平均可変費用曲線の描き方は、平均費用曲線とほとんど同じです。違いは、原点ではなく縦軸切片 $FC$ を起点にするという一点だけです。

思い出してください。総費用曲線は可変費用曲線を $FC$ だけ上にずらしたものでした。ということは、縦軸切片 $FC$ の位置を原点だと思って総費用曲線を眺めれば、それはそのまま可変費用曲線に見えるわけです。

したがって、生産量 $x_A$ における平均可変費用は、点 $FC$ と総費用曲線上の点 A を結んだ直線の傾きとして読み取れます。実際に計算すれば

$\text{FC と A を結ぶ直線の傾き} = \dfrac{C(x_A) - FC}{x_A} = \dfrac{VC(x_A)}{x_A} = AVC(x_A)$

となり、定義式に一致します。

そして平均費用のときと同じ論法で、$FC$ を通る直線と総費用曲線との接点において、平均可変費用は最小になることがわかります。総費用曲線が逆S字型であれば、平均可変費用曲線もU字型になります。

④ 平均費用と平均可変費用の関係（その1: 大小関係）

$AC$ と $AVC$ の間には、必ず次の関係が成り立ちます。

$AC(x) > AVC(x)$

理由は単純です。平均費用は総費用（可変費用 + 固定費用）を生産量で割ったもの、平均可変費用は可変費用だけを生産量で割ったものです。固定費用が存在する限り総費用は可変費用より必ず大きいので、割った後も大小関係は変わりません。

しかも、2本の曲線の縦の差は平均固定費用にあたります。

$AC(x) - AVC(x) = \dfrac{FC}{x}$

生産量が増えるほど $\frac{FC}{x}$ は小さくなるので、$AC$ 曲線と $AVC$ 曲線は右へ行くほど近づいていきます。ただし $\frac{FC}{x}$ がゼロになることはないので、2本が交わることは決してありません。

⑤ 平均費用と平均可変費用の関係（その2: 最小点の位置）

もう1つ重要な関係があります。

$AC$ が最小となる生産量 $>$ $AVC$ が最小となる生産量

つまり、$AC$ の底のほうが $AVC$ の底より右側にあるということです。

理由は、それぞれの最小点がどこで決まるかを考えればわかります。$AC$ の最小は原点を通る直線と総費用曲線の接点、$AVC$ の最小は $FC$ を通る直線と総費用曲線の接点で決まります。起点が原点より上（高さ $FC$ の位置）にあるぶん、$FC$ から引いた直線のほうが早く曲線に接します。したがって接点は必ず左側、つまり小さい生産量のところに来るのです。

② 限界費用は可変費用の増加分

もう少し踏み込むと、限界費用の正体は可変費用の増加分です。数値で確かめてみましょう。

理由は、総費用曲線の上で起きていることを見ればわかります。

平均費用が最小になるのは、原点を通る直線が総費用曲線に接する点 C でした。ここで「接する」という言葉に注目してください。接しているということは、この直線は接線でもあるということです。

一方、接線の傾きは限界費用を表していました。つまり点 C において、原点から引いたこの1本の直線は、

• 原点と曲線上の点を結んでいる → その傾きは平均費用（しかも最小値）
• 曲線に接している → その傾きは限界費用

という2つの顔を同時に持っています。1本の直線の傾きは1つですから、平均費用の最小値とその点の限界費用は一致することになります。

③ なぜ $AVC$ の最小点も $MC$ が通るのか

まったく同じ論法です。平均可変費用が最小になるのは、縦軸切片 $FC$ を通る直線が総費用曲線に接する点 E でした。この直線も接線なので、その傾きは限界費用でもあります。

• $FC$ と曲線上の点を結んでいる → その傾きは平均可変費用（しかも最小値）
• 曲線に接している → その傾きは限界費用

したがって、平均可変費用の最小値とその点の限界費用は一致するわけです。

④ 3本の曲線の並び方

以上をまとめると、3本の曲線は次のように配置されます。

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平均固定費用だけで0.5万円も下がっています。平均費用の低下（1.5 → 0.9、つまり0.6万円の低下）の大部分が、固定費用を分け合った効果で説明できることがわかります。

ステップ3: 可変費用の側も確認する

• 10個のとき: 可変費用 $= 15 - 10 = 5$ 万円、平均可変費用 $= 0.5$ 万円
• 20個のとき: 可変費用 $= 18 - 10 = 8$ 万円、平均可変費用 $= 0.4$ 万円

平均可変費用も0.5万円から0.4万円へ下がっており、習熟の効果が表れています。

ステップ4: このあとどうなるか

この企業がさらに生産量を増やし続ければ、やがて設備が限界に達して平均可変費用が上昇に転じます。その上昇分が平均固定費用の低下分を上回った瞬間から、平均費用は上向きます。そこが規模の経済と規模の不経済の境目、すなわち平均費用曲線の底です。

ステップ4: 値を確かめる

念のため、定義に立ち返って検算してみましょう。$X = 2$ のときの限界費用は公式から

$MC(2) = 3 \times 4 - 4 \times 2 + 6 = 12 - 8 + 6 = 10$

です。一方、実際に生産量を2から3へ増やしたときの総費用の変化を見ると、

• $C(2) = 8 - 8 + 12 + 10 = 22$
• $C(3) = 27 - 18 + 18 + 10 = 37$
• 差 $= 37 - 22 = 15$

15と10で少しずれていますが、これは1単位という刻みが粗いためです。微分は刻みを限りなく小さくしたときの値なので、$X = 2$ ちょうどでの接線の傾き10のほうが正確な限界費用です。両者がずれるのは曲線が曲がっている証拠であり、むしろ自然な結果だと理解してください。

ステップ5: 限界費用が最小になる生産量を求める

$MC = 3X^2 - 4X + 6$ を平方完成すると

$MC = 3\left(X - \dfrac{2}{3}\right)^2 + \dfrac{14}{3}$

なので、$X = \frac{2}{3}$ のとき限界費用は最小値 $\frac{14}{3} \approx 4.67$ をとります。この生産量が、総費用曲線の変曲点に対応する位置です。