効用関数

効用（utility）とは、財の消費から得られる満足度を表す概念です。消費者は効用の高い消費パターンをより好みます。

選好（preference）とは消費者の好みのことで、ある消費の組合せが別の組合せよりも好ましいかどうかを示します。例えば「コーヒー1杯の方が紅茶1杯より効用が高い」消費者は「コーヒーを紅茶よりも選好している」と表現します。

選好を数値化したものが効用関数（utility function）です。2財モデルでは、$x$ 財の消費量を $x$、$y$ 財の消費量を $y$ としたとき、効用水準 $u$ は $u = f(x, y)$ と表されます。例えば $u = xy$ という効用関数では、ビール2杯とヤキトリ3本の組合せの効用は $u = 2 \times 3 = 6$ となります。

限界効用（marginal utility: $MU$）とは、他の財の消費量を一定に保ったまま、ある財の消費量を1単位増加させたときに増える効用の大きさです。

$x$ 財の限界効用: $MU_x = \frac{\partial u}{\partial x}$

例えば効用関数 $u = xy$ の場合、$MU_x = y$、$MU_y = x$ となります。ビールの消費が2杯の時にヤキトリの限界効用は $MU_y = 2$、つまりヤキトリ1本追加で効用が2増えます。

無差別曲線（indifference curve）とは、同じ効用水準を得られる消費量の組合せを結んだ曲線です。等高線や天気図の等圧線と同じ考え方です。

無差別曲線の主な性質:

1. 右下がり: 一方の財を減らしたら、同じ効用を維持するために他方の財を増やす必要がある

2. 右上に位置するほど効用が高い: より多くの財を消費できる組合せほど効用が高い

3. 互いに交わらない: もし交わると、同じ点が異なる効用水準に対応する矛盾が生じる

4. 原点に対して凸: 限界代替率逓減の法則による（後述）

限界代替率（marginal rate of substitution: $MRS$）とは、ある財を1単位追加的に消費するために、効用水準を維持したまま他の財をどれだけ減らせるかを示す比率です。無差別曲線上の接線の傾きの絶対値に等しくなります。

$MRS_{xy} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{MU_x}{MU_y}$

例えば $MU_x = 3$、$MU_y = 1$ なら $MRS_{xy} = 3$ で、$x$ 財1単位追加に対し $y$ 財3単位を手放しても同じ効用を維持できます。

限界代替率逓減の法則: 通常の無差別曲線では、$x$ を増やすにつれて $MRS$ は低下します。直感的には、$x$ をたくさん持っているほど、追加の $x$ 1単位に対して手放してもよい $y$ の量は少なくなります。この性質が無差別曲線を原点に対して凸にします。