予算制約

左辺は本への支出と服への支出の合計、右辺は所得です。この式は「2財への支出額が所得を上回ってはいけない」という条件を表しています。この条件を予算制約（budget constraint）と呼びます。

③ 予算集合と予算制約線

予算制約のもとで購入可能な2財の消費量の組合せの集合を予算集合といいます。

不等号を等号で置き直し、$y$ について解くと次のようになります。

$5{,}000y = 50{,}000 - 2{,}000x$

$y = -\dfrac{2{,}000}{5{,}000}x + \dfrac{50{,}000}{5{,}000} = -\dfrac{2}{5}x + 10$

これは、すべての所得を余すところなく使い切った場合に購入できる2財の消費量の組合せを表しています。これを予算制約線（予算線）といいます。

グラフに描くと、右下がりの直線が予算線であり、その左下の三角形の部分（原点と予算線に囲まれた領域）が予算集合になります。

④ 3つの数字を読み取る

この直線からは、次の3つを読み取っておきたいところです。

ステップ2: 予算制約線を求める

等号にして $y$ について解きます。

$1{,}200y = 12{,}000 - 800x$

$y = -\dfrac{800}{1{,}200}x + \dfrac{12{,}000}{1{,}200} = -\dfrac{2}{3}x + 10$

ステップ3: 切片を確認する

• 縦軸切片: $x = 0$ のとき $y = 10$。こづかいを全部書籍に使えば10冊買えます（$12{,}000 \div 1{,}200 = 10$）。
• 横軸切片: $y = 0$ のとき $0 = -\frac{2}{3}x + 10$ より $x = 15$。全部ランチに使えば15回です（$12{,}000 \div 800 = 15$）。

ステップ4: 傾きの意味を確かめる

傾きの絶対値は $\frac{2}{3}$ です。ランチを1回増やすには800円必要で、それは書籍 $800 \div 1{,}200 = \frac{2}{3}$ 冊ぶんにあたります。価格比 $\frac{800}{1{,}200} = \frac{2}{3}$ と一致しました。

ステップ5: いくつかの組合せを判定する

$y = -\dfrac{P_x}{P_y} x + \dfrac{m}{P_y}$

この式のどの部分に $P_x$、$P_y$、$m$ が現れているかを見れば、何が動くかがわかります。

• $P_x$ は傾きにだけ現れる → 傾きと横軸切片が動く
• $P_y$ は傾きと縦軸切片の両方に現れる → 傾きと縦軸切片が動く
• $m$ は縦軸切片にだけ現れる（傾きには現れない）→ 傾きは変わらず平行移動

② X 財の価格 $P_x$ の変化

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③ 切片の覚え方

切片の分母がどちらの価格になるかは混乱しやすいところです。次のように意味から考えると間違えません。

• 縦軸は Y 財の量。所得を全部 Y 財につぎ込むのだから、所得 ÷ Y 財の価格 = $\frac{m}{P_y}$
• 横軸は X 財の量。所得を全部 X 財につぎ込むのだから、所得 ÷ X 財の価格 = $\frac{m}{P_x}$

「その軸の財の価格で所得を割る」と覚えておけば十分です。

④ 傾きの絶対値は価格比

傾きの絶対値 $\frac{P_x}{P_y}$ は、両財の価格比です。

この数値が意味しているのは、市場において X 財1単位が Y 財何単位と交換できるか、ということです。たとえば $P_x = 200$、$P_y = 500$ なら $\frac{P_x}{P_y} = 0.4$ で、X 財1単位は Y 財0.4単位と交換できる、という関係になります。

前節で学んだ限界代替率が「消費者にとっての Y 財で測った X 財の価値」だったことを思い出してください。価格比のほうは「市場における Y 財で測った X 財の価値」です。この2つが一致するところが最適な消費の組合せになる、というのが次節の結論です。いまのうちに対比を意識しておくと、話が早くなります。

となります。消費量はマイナスにならないので、$x \geq 0$ と $y \geq 0$ という条件も付きます。だから領域が三角形になるわけです。

検算として傾きを求めると $-\frac{P_x}{P_y} = -\frac{200}{500} = -0.4$ です。グラフからも $-\frac{20}{50} = -0.4$ と読み取れるので、一致しています。

グラフから価格を読み取らせる問題は頻出です。「切片 = 所得 ÷ その軸の財の価格」という関係を、両方向に使えるようにしておきましょう。