生産関数によるアプローチ

労働を生産要素とするなら「働き手1人あたりの生産量」であり、労働生産性と呼ばれるものにほかなりません。運営管理や企業経営理論で出てくる労働生産性と、まったく同じ概念です。

② グラフ上の読み取り方

平均生産物は「生産量 ÷ 生産要素投入量」という割り算なので、グラフの上では

原点と生産関数上の点を結んだ直線の傾き

として読み取れます。

理由は平均費用のときとまったく同じです。原点から生産関数上の点まで進むとき、ヨコには $L$ だけ、タテには $f(L)$ だけ進みます。したがって傾きは $\frac{f(L)}{L}$ となり、平均生産物の定義式そのものになります。

③ 平均生産物は逓減する

生産関数上に2つの点 A（投入量 $L_A$）と B（投入量 $L_B$、ただし $L_A < L_B$）をとり、それぞれ原点と結んでみましょう。

生産関数が上に凸の形（しだいに寝ていく形）をしているため、点が右へ行くほど原点と結んだ直線は寝ていきます。つまり傾きが小さくなります。

したがって、

生産要素投入量が増えるとともに、平均生産物は逓減する

という性質が得られます。働き手を増やしていくと、1人あたりの生産量はだんだん下がっていく、ということです。機械の数が変わらないまま人だけ増えれば、1人あたりが扱える設備は薄くなっていくのですから、自然な結果だといえます。

④ 平均費用のときとの違いに注意

ここで混同しやすい点を1つ挙げておきます。平均費用曲線はU字型でした。では平均生産物曲線もU字型かというと、そうとは限りません。

生産関数が最初から上に凸（全域で収穫逓減）であれば、平均生産物は最初から一貫して逓減します。一方、生産関数が途中まで下に凸（収穫逓増）で、そこから上に凸に変わる形であれば、平均生産物はいったん上がってから下がる、山型（逆U字型）になります。

試験で出される生産関数がどちらの形をしているかは、図をよく見て判断してください。

で求められます。生産関数を $f(L)$ とすれば、限界生産物は微分して

$MP(L) = f'(L)$

と表せます。

たとえば投入量 $L_A$ での限界生産物は、生産関数上の点 A を接点とする接線の傾きとして読み取れます。同様に $L_B$ での限界生産物は、点 B を接点とする接線の傾きです。

③ 限界生産物も逓減する

生産関数が上に凸の形をしていれば、右へ行くほど接線は寝ていきます。したがって

生産要素投入量の増加とともに、限界生産物は逓減する

という性質が成り立ちます。これを限界生産物逓減の法則（収穫逓減の法則）と呼びます。

④ 限界生産物と平均生産物の大小関係

ここが試験で問われるポイントです。生産関数上の同じ点で、原点と結んだ直線（平均生産物）と接線（限界生産物）を比べてみましょう。

生産関数が上に凸であれば、接線は原点と結んだ直線より必ず寝ています。つまり

$MP < AP$

が成り立ちます。点 A でも点 B でも、どの点をとっても同じです。したがって、

収穫逓減の生産関数では、いかなる生産量においても限界生産物 < 平均生産物となる

という結論が得られます。

⑤ ただし例外的な形もある

上の結論には「収穫逓減の生産関数の場合」という条件がついています。生産関数が途中まで下に凸（収穫逓増）である場合には、前半で $MP > AP$ となる区間が現れます。

そして、原点を通る直線がちょうど生産関数に接する点では、

• 原点と結んだ直線の傾き → 平均生産物
• 曲線への接線の傾き → 限界生産物

が同じ1本の直線の傾きになるため、$AP = MP$ が成立します。しかもその点は平均生産物が最大になる点です。

第2節で「限界費用曲線は平均費用曲線の最小点を通る」と学んだのと、まったく同じ構造です。費用では最小、生産物では最大、と向きが逆になるだけで、理屈は同じだと理解してください。

⑥ 3つの関係を整理する

$\text{限界生産物価値} = \text{市場価格} \, P \times \text{限界生産物} \, MP$

考え方は単純です。生産要素を1単位増やせば、限界生産物 $MP$ だけ生産量が増えます。増えた分は市場価格 $P$ で売れるので、収入は $P \times MP$ だけ増える、ということです。

具体例 製造している製品の価格が1個5万円で、資本を1台導入することによって生産量が5個増えたとします。このときの限界生産物価値は

$5 \text{万円} \times 5 \text{個} = 25 \text{万円}$

となります。

限界生産物価値は、生産関数の世界における限界収入にあたる概念です。

③ 限界生産物価値は逓減する

ミクロ経済学では多くの場合、収穫逓減（生産要素投入量の増加に伴って限界生産物が低下する）と、市場価格一定を想定しています。

$VMP = P \times MP$ という式において、$P$ が一定で $MP$ が逓減するのですから、

生産要素投入量の増加に伴って、限界生産物価値も逓減する

ことになります。グラフに描けば右下がりの曲線です。

④ 生産関数における利潤最大化条件

ここまで準備すれば、結論はすぐに出ます。

生産要素を1単位追加的に投入することによって増加する収入（限界生産物価値）が、増加する費用（要素価格）を上回る限り、追加的な利潤が生じます。ならば生産要素を投入して生産量を増やしたほうがよい、ということになります。

逆に限界生産物価値が要素価格を下回れば、その1単位は損を生むので投入しないほうがよいわけです。

したがって、

生産関数における利潤最大化条件は、「限界生産物価値 = 要素価格」となるように生産要素投入量を決めること

となります。

⑤ 費用関数のときの条件との対応

第3節で学んだ利潤最大化条件は「限界収入 = 限界費用となるまで生産する」でした。基本となる考え方はまったく同じです。

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この例の生産関数は、はじめのうち収穫逓増（1人増やすごとの増加分が大きくなる）だったため、平均生産物も最初は上がりました。しかし $L = 3$ 以降は収穫逓減に入り、平均生産物も下がっています。

ステップ3: グラフ上で確かめる

原点と各点を結んだ直線の傾きを計算すると、上の表の値がそのまま出てきます。

• 点 $(1, 10)$: $10 \div 1 = 10.0$
• 点 $(3, 36)$: $36 \div 3 = 12.0$
• 点 $(6, 48)$: $48 \div 6 = 8.0$

点が右へ行くほど直線が寝ていく（$L = 3$ 以降）という形が、数値からも確認できます。

ステップ4: 労働生産性として読み替える

平均生産物は労働生産性そのものです。この工場では、働き手3人のときに1人あたり12個で最も効率がよく、6人まで増やすと1人あたり8個まで落ちてしまいます。

「人を増やせば総生産量は増えるが、1人あたりの生産量は下がる」という状況です。総生産量を増やしたいのか、生産性を高めたいのかで、望ましい人数は変わってきます。診断士として工場の改善提案をする場面でも、この区別は効いてきます。

ステップ5: 総生産量との違いを確認する

見落としやすいのは、総生産量が最大になる点（$L = 5$ または $6$）と、平均生産物が最大になる点（$L = 2$ または $3$）が一致しないことです。この2つは別の指標であり、最大になる投入量も異なります。

ケース3: 前半は収穫逓増、後半は収穫逓減

第1テーマで使った工場の例を再掲します。

$MP$ が $AP$ を上から下に横切る $L = 3$ で、平均生産物が最大になっています。第2節で学んだ「$MC$ 曲線が $AC$ 曲線の最小点を通る」の裏返しが、ここでも起きていることが数値で確認できました。