生産関数によるアプローチ

生産関数 $x = f(L) = 10\sqrt{L}$ を例に考えましょう。

$L = 1$ のとき $x = 10$、$L = 4$ のとき $x = 20$、$L = 9$ のとき $x = 30$ です。労働投入量を4倍にしても生産量は2倍にしかなりません。これは投入量を増やすほど追加的な効果が薄れていく典型的なパターンです。

$f(L) = 10\sqrt{L}$ のとき、

$AP(L) = \frac{10\sqrt{L}}{L} = \frac{10}{\sqrt{L}}$

$MP(L) = f'(L) = \frac{10}{2\sqrt{L}} = \frac{5}{\sqrt{L}}$

任意の $L > 0$ で $MP = \frac{5}{\sqrt{L}} < \frac{10}{\sqrt{L}} = AP$

3つの生産関数を比較してみましょう。

収穫逓減: $f_1(L) = 10\sqrt{L}$ → $MP = \frac{5}{\sqrt{L}}$（$L$ が大きくなるほどMPは減少）

収穫一定: $f_3(L) = 2L$ → $MP = 2$（MPは常に一定）

S字型（逓増→逓減）: $f_2(L)$ は初期にMPが増加し、途中からMPが減少する関数です。現実の多くの生産活動では、少人数のうちは分業効果で効率が高まり（逓増）、人数が増えすぎると管理コスト増大などで効率が落ちる（逓減）というS字型が観察されます。

製品の市場価格が $P = 5$ 万円、労働者1人の賃金（要素価格）が $w = 20$ 万円とします。生産関数が $f(L) = 10\sqrt{L}$ のとき、

$MP = f'(L) = \frac{5}{\sqrt{L}}$

$VMP = P \times MP = 5 \times \frac{5}{\sqrt{L}} = \frac{25}{\sqrt{L}}$

利潤最大化条件 $VMP = w$ より、

$\frac{25}{\sqrt{L}} = 20$

$\sqrt{L} = \frac{25}{20} = 1.25$

$L = 1.5625$ （人）

したがって、約1.56人分の労働投入が最適となります。