効用最大化

前のテーマで求めた最適消費点を、今度は条件式から導いてみましょう。

設定 所得 $m = 1{,}200$ 円、$P_x = 100$ 円、$P_y = 200$ 円、効用関数 $u = xy$。

ステップ1: 限界効用を求める

$MU_x = y$、$MU_y = x$（$u = xy$

ステップ2: 限界代替率を求める

$MRS_{xy} = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{y}{x}$

ステップ3: 価格比を求める

$\dfrac{P_x}{P_y} = \dfrac{100}{200} = \dfrac{1}{2}$

ステップ4: 最適化条件を立てる

$\dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = 2y$

ステップ5: 予算制約と連立させる

$100x + 200y = 1{,}200$ に $x = 2y$ を代入します。

$100 \times 2y + 200y = 1{,}200$

$400y = 1{,}200$

$y = 3$

したがって $x = 2 \times 3 = 6$ です。

答え 最適消費点は $(x, y) = (6, 3)$、そのときの効用は $u = 6 \times 3 = 18$。

前のテーマで表から探した答えと一致しました。条件式を使えば、表を作らなくても一発で求められます。

ステップ6: 加重限界効用が均等になっていることを確認する

$\dfrac{MU_x}{P_x} = \dfrac{y}{100} = \dfrac{3}{100} = 0.03$

$\dfrac{MU_y}{P_y} = \dfrac{x}{200} = \dfrac{6}{200} = 0.03$

確かに等しくなっています。この消費者は、X 財に1円使っても Y 財に1円使っても、得られる効用は0.03で同じです。

ステップ7: 最適でない点と比べる

$(x, y) = (4, 4)$ の場合を見てみましょう。この点も予算線上にあります（$100 \times 4 + 200 \times 4 = 1{,}200$）。

• $\dfrac{MU_x}{P_x} = \dfrac{4}{100} = 0.04$

X 財に1円使うほうが2倍の効用を生みます。ならば Y 財を減らして X 財を増やすべきです。実際、$(6, 3)$ に移れば効用は16から18に上がります。数値が改善の方向を教えてくれている、というわけです。

ステップ8: 計算手順を固定化する

効用最大化の計算問題は、次の3ステップで必ず解けます。

1. 効用関数を偏微分して $MU_x$、$MU_y$ を求め、$MRS = \frac{MU_x}{MU_y}$

2. $MRS = \frac{P_x}{P_y}$

3. その関係式を予算制約 $P_x x + P_y y = m$ に代入して解く

3つの型それぞれについて、最適消費点を求めてみましょう。所得はいずれも $m = 600$ 円、$P_x = 30$ 円、$P_y = 20$ 円とします。

ケース1: コブ・ダグラス型 $u = x^2 y$

ステップ1 限界効用を求めます。

$MU_x = 2xy$、$MU_y = x^2$

ステップ2 限界代替率を求めます。

$MRS_{xy} = \dfrac{2xy}{x^2} = \dfrac{2y}{x}$

ステップ3 価格比とおきます。

$\dfrac{2y}{x} = \dfrac{30}{20} = \dfrac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad 4y = 3x \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{3}{4}x$

ステップ4 予算制約に代入します。

$30x + 20 \times \dfrac{3}{4}x = 600$

$30x + 15x = 600$

$x = \dfrac{600}{45} = 13.33$、$y = \dfrac{3}{4} \times 13.33 = 10$

公式で検算 $a = 2$、$b = 1$ なので

$x = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{600}{30} = \dfrac{2}{3} \times 20 = 13.33$

$y = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{600}{20} = \dfrac{1}{3} \times 30 = 10$

一致しました。支出額を確認すると、X 財に $30 \times 13.33 = 400$ 円、Y 財に $20 \times 10 = 200$ 円で、比は $2 : 1$。指数の比と一致しています。

ケース2: 完全代替財 $u = 2x + 3y$

ステップ1 限界代替率を求めます。

$MRS_{xy} = \dfrac{MU_x}{MU_y} = \dfrac{2}{3} \approx 0.67$

ステップ2 価格比と比べます。

$\dfrac{P_x}{P_y} = \dfrac{30}{20} = 1.5$

ステップ3 判定します。

$MRS(0.67) < \frac{P_x}{P_y}(1.5)$

$y = \dfrac{600}{20} = 30$、$x = 0$。このときの効用は $u = 3 \times 30 = 90$

念のため、全部 X 財に使った場合と比べてみましょう。$x = 20$、$u = 2 \times 20 = 40$。確かに Y 財だけのほうが効用が高くなっています。

ケース3: 完全補完財 $u = \min(x, 2y)$

ステップ1 L 字の角の条件を書きます。

$x = 2y$

ステップ2 予算制約に代入します。

$30 \times 2y + 20y = 600$

$80y = 600$

$y = 7.5$、$x = 15$

このとき $u = \min(15, 15) = 15$ です。

確認 もし $x$ だけ増やして $(17, 7.5)$ にしても、$u = \min(17, 15) = 15$ で効用は変わりません。増やした X 財が無駄になっているわけです。だから角がちょうど最適になります。