効用関数

ここで注意したいのは、「A さんのビールの効用8」と「B さんのヤキトリの効用7」を比べて、「A さんのほうが幸せだ」とは言えないという点です。

効用の数値は、同じ人の中での大小関係を表すために付けたものであり、人と人の間で比べられる単位ではありません。これを効用の個人間比較はできないといいます。

ステップ3: 数値を変えても選好は変わらない

A さんの効用をすべて10倍してみましょう。

たとえば次のような効用関数を考えてみましょう。

$u = xy$

これは「ビールの本数とヤキトリの本数を掛け合わせたものが満足度になる」という選好を表しています。

② 効用関数から効用水準を計算する

この効用関数のもとで、いくつかの消費パターンの効用を計算してみます。

効用水準 4 の無差別曲線 $U_1$ 消費パターン A（ビール2杯、ヤキトリ2本）と同じ効用をもたらす組合せを結んだものです。たとえばビール4杯とヤキトリ1本という組合せ E も、$4 \times 1 = 4$ なので A と同じ効用水準4であり、$U_1$ の上にあります。

効用水準 6 の無差別曲線 $U_2$ 消費パターン B（2, 3）と同じ効用をもたらす組合せを結んだものです。C（3, 2）も D（6, 1）も効用は6なので、B と同じ $U_2$ の上に並びます。

同じ無差別曲線上にある消費パターン、つまり同じ効用水準をもたらす消費パターンを「無差別な消費パターン」と呼びます。どちらを選んでも構わない、選ぶ理由がない、という意味です。

③ 無差別曲線は無数にある

両財の消費量の組合せは無数にありますから、無差別曲線も無数に描くことができます。効用水準を5に設定すれば効用5の無差別曲線が、7に設定すれば効用7の無差別曲線が描けます。地図に等高線が何本も引けるのと同じです。

ふだんは、そのうち何本かを代表として描くことになります。

④ 右上にあるほど効用が高い

そして重要な性質がこれです。

より右上にある無差別曲線のほうが、効用水準は高くなる

ただしこれは、次のテーマで扱う単調性が成立する場合の話です。

なぜ右上ほど効用が高いのでしょうか。右上に移動するということは、両方の財の消費量が増えるということです。財が増えれば満足度は上がるはずですから、より高い効用水準の無差別曲線に乗ることになります。

たとえば $U_1$（効用4）と $U_2$（効用6）を比べると、$U_2$ のほうが右上に位置しています。

⑤ 無差別曲線の見方を整理する

③ 単調性が成り立たないケース

単調性が成り立たない例として、しばしば取り上げられるのが「所得と労働時間の選択」です。

この例では、次のように仮定します。

• 所得の増加 → 効用を上昇させる
• 労働時間の増加 → 効用を低下させる

労働時間は増えるとうれしくないので、単調性は成り立っていません。このケースでは、無差別曲線は右上がりになります。

なぜでしょうか。所得を増加させた場合（点 A から点 B へ）、効用は上がります。これを元の水準に戻して一定に保つには、効用を下げる要素、つまり労働時間を増加させなければなりません（点 B から点 C へ）。だから「所得が増えると労働時間も増える」という右上がりの関係になるのです。

そしてこの例では、左上に位置する無差別曲線のほうが効用水準は高くなります。左上とは「労働時間が短く、所得が高い」という方向だからです。右上ほど効用が高い、という先ほどの性質が逆転している点に注意してください。

④ 無差別曲線は交わらない

もう1つの重要な性質がこれです。

無差別曲線は交わらない

背理法で確かめてみましょう。仮に、無差別曲線 $U_1$（効用水準4）と $U_2$（効用水準6）が点 B で交わっているとします。

• B は $U_1$ 上にあるので、B の効用水準は4である
• B は $U_2$ 上にもあるので、B の効用水準は6である

すると、B という1つの消費量の組合せが、効用水準4であると同時に6であることになってしまいます。これは矛盾です。

したがって、無差別曲線は交わることはない、といえます。等高線が交わらないのと同じ理屈だと考えてください。標高100mの等高線と200mの等高線が交わったら、その地点の標高が100mでもあり200mでもあることになってしまいます。

⑤ 性質のまとめ

例 ビールのヤキトリに対する限界代替率が2であるとします。これは、ビールを1単位減少させた場合に効用水準を一定に保つには、ヤキトリの消費を2単位増加させなければならないということです。言い換えれば、1単位のビールを2単位のヤキトリで置き換えても効用は同じ、ということになります。

② 限界代替率は「y 財で測った x 財の価値」

限界代替率は、1単位の x 財を何単位の y 財で置き換えることができるかを表す数値です。そのため、消費者にとってのy 財で測った x 財の価値と解釈することもできます。

ビールの限界代替率が2なら、この人にとってビール1杯はヤキトリ2本ぶんの価値がある、ということです。限界代替率が5に上がれば、ビールの価値はヤキトリ5本ぶんに高まったことになります。

この読み方は、後の効用最大化の議論で「限界代替率 = 価格比」という条件が出てきたときに効いてきます。消費者にとっての交換レートと、市場での交換レートが一致するところが最適点になるからです。

③ 限界代替率は無差別曲線への接線の傾き（の絶対値）

限界代替率 = 無差別曲線への接線の傾き（の絶対値）

これがグラフでの読み取り方です。第1章で扱った限界費用や限界生産物と、まったく同じ発想です。

確認してみましょう。無差別曲線上の点 A から、x 財（ビール）の消費を $\Delta x$ 単位減少させたとします。同じ無差別曲線 $U$ の上にとどまるためには、y 財（ヤキトリ）の消費量が $\Delta y$ だけ増加しなければなりません。移動後の点を B とすると、限界代替率は点 A と点 B を結ぶ直線の傾きの絶対値、つまり

$MRS = \left| \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \right|$

で与えられます。

ここで $\Delta x$ が十分小さければ（直線 AB の長さが限りなく短ければ）、直線 AB の傾きは点 A を接点とする無差別曲線への接線の傾きにほぼ等しくなります。したがって、点 A における無差別曲線への接線の傾きの絶対値で限界代替率が表されるのです。

無差別曲線は右下がりなので接線の傾きは負になります。そのため絶対値をとって正の数として扱います。

④ 限界効用との関係

限界代替率は、2財の限界効用の比としても表せます。

$MRS_{xy} = \dfrac{MU_x}{MU_y}$

効用関数 $u = xy$ であれば $MU_x = y$、$MU_y = x$ ですから

$MRS_{xy} = \dfrac{y}{x}$

となります。計算問題ではこの形を使うと速く解けます。

⑤ 限界代替率逓減

通常、無差別曲線は原点に対して凸の形であると想定されます。この形状は、ビールの消費量 $x$ を増加させヤキトリの消費量 $y$ を減少させるにつれて、ビールの限界代替率が低下していくことを意味しています。この性質を限界代替率逓減といいます。

無差別曲線が原点に対して凸 → 限界代替率逓減

⑥ 限界代替率逓減の解釈

ビールの限界代替率は、ヤキトリで測ったビール1単位の価値であるとみなせました。この解釈から考えると、限界代替率逓減とは、ビールの消費量を増加させヤキトリの消費量を減少させるほど、ヤキトリと比較してビールの価値が低下していくことを意味します。

つまり、ビールばかりたくさん消費しているという状態では、もう1杯のビールをもらうよりもヤキトリを1本もらうほうがよい、ということです。

このように、片方の財の消費量を増加させもう片方を低下させるほど、多く消費される財に対する評価が相対的に低くなっていく、という性質は、多くの財についてあてはまると考えられています。このため、通常、限界代替率は逓減するものと仮定されます。

同じものばかり食べていると飽きてくる、という日常的な感覚をそのまま数式にしたものだと考えてください。

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• $U_1$ 上の点: $(2, 2)$
• $U_2$ 上の点: $(2, 3)$

$U_2$ のほうが上にあります。同じ $x = 6$ でも、$U_1$ 上は $(6, 0.67)$、$U_2$ 上は $(6, 1)$ で、やはり $U_2$ が上です。

どの位置で比べても $U_2$ が $U_1$ より右上にあり、しかも効用水準も $U_2$（6）が $U_1$（4）より高くなっています。

ステップ4: 無差別であることを確かめる

$U_2$ 上の2点、B（2, 3）と D（6, 1）を比べてみます。

• B: ビール2杯とヤキトリ3本 → $2 \times 3 = 6$
• D: ビール6杯とヤキトリ1本 → $6 \times 1 = 6$

まったく違う組合せなのに効用は等しく、この人はどちらを選んでも同じ満足度になります。まさに「無差別」です。

ステップ5: 等高線のたとえで確認する

山の地図で、標高100mの等高線上のどこに立っても標高は100mです。標高200mの等高線に移れば、それだけ高いところにいます。

無差別曲線もこれと同じで、同じ線の上ならどこでも満足度は同じ、線を乗り換えれば満足度が変わる、という読み方をします。