期待効用仮説

資産 A と資産 B の選択を、危険回避的な人と危険愛好的な人で比べてみましょう。

設定

• 資産 A: 50%の確率で100、50%の確率で400
• 資産 B: 100%の確率で250

どちらも期待値は250です。

ケース1: 危険回避的な人（$U = \sqrt{W}$）

ステップ1: 資産 A の期待効用を求める

$0.5 \times \sqrt{100} + 0.5 \times \sqrt{400} = 0.5 \times 10 + 0.5 \times 20 = 5 + 10 = 15$

ステップ2: 資産 B の効用を求める

$\sqrt{250} \approx 15.81$

ステップ3: 比べる

$15.81 > 15$ なので、資産 B を選びます。確実なほうが効用が高い、ということです。

ステップ4: どこまでなら B を選ぶか

B の資産額を下げていって、A と同じ効用になる金額を求めてみましょう。

$\sqrt{X} = 15 \quad \Rightarrow \quad X = 225$

つまり B が225まで下がっても、A と同じ効用です。225を上回っていれば B を選びます。この225が確実性等価であり、$250 - 225 = 25$ がリスク・プレミアムです。

ケース2: 危険愛好的な人（$U = W^2 \div 100$）

ステップ1: 資産 A の期待効用を求める

$0.5 \times \dfrac{100^2}{100} + 0.5 \times \dfrac{400^2}{100} = 0.5 \times 100 + 0.5 \times 1{,}600 = 50 + 800 = 850$

ステップ2: 資産 B の効用を求める

$\dfrac{250^2}{100} = 625$

ステップ3: 比べる

$850 > 625$ なので、資産 A を選びます。同じ期待値なら、変動があるほうを好むわけです。

ステップ4: 確実性等価を求める

$\dfrac{X^2}{100} = 850 \quad \Rightarrow \quad X^2 = 85{,}000 \quad \Rightarrow \quad X \approx 291.5$

確実性等価は約291.5で、期待値250を上回っています。リスク・プレミアムは $250 - 291.5 = -41.5$ で負の値です。

危険愛好的な人にとっては、不確実であること自体に価値があるので、確実な資産で同じ満足を得るには期待値以上の金額が必要になります。

ケース3: 危険中立的な人（$U = W$）

• 資産 A の期待効用: $0.5 \times 100 + 0.5 \times 400 = 250$
• 資産 B の効用: $250$

同じなのでどちらでも無差別です。確実性等価は250で期待値と一致し、リスク・プレミアムはゼロになります。

まとめ

リスク・プレミアムの符号が、そのままリスクへの態度を表していることがわかります。正なら回避的、ゼロなら中立的、負なら愛好的です。

別の数値で、4ステップの手順を練習してみましょう。

問題 ある投資家の効用関数が $U = \sqrt{W}$ と表される。この投資家は、確率25%で400、確率75%で1,600の所得を得るという不確実性に直面している。確実性等価とリスク・プレミアムを求めよ。

ステップ1: 所得の期待値を求める

$(400 \times 0.25) + (1{,}600 \times 0.75) = 100 + 1{,}200 = 1{,}300$

ステップ2: 期待効用を求める

まず各状態の効用を計算します。

• 所得400のときの効用: $\sqrt{400} = 20$
• 所得1,600のときの効用: $\sqrt{1{,}600} = 40$

これに確率を掛けて足します。

$(20 \times 0.25) + (40 \times 0.75) = 5 + 30 = 35$

ステップ3: 確実性等価を求める

$U = \sqrt{W}$ の $U$ に35を代入します。

$35 = \sqrt{W} \quad \Rightarrow \quad W = 35^2 = 1{,}225$

確実性等価は1,225です。

ステップ4: リスク・プレミアムを求める

$\text{リスク・プレミアム} = 1{,}300 - 1{,}225 = 75$

答え 確実性等価 1,225、リスク・プレミアム 75

ステップ5: 意味を確認する

この投資家は、「25%で400・75%で1,600」という不確実な投資と、「確実に1,225」を同じ価値だと評価しています。期待値は1,300ですから、確実であることに75だけの価値を認めていることになります。

言い換えれば、この不確実性を取り除いてくれるサービス（保険のようなもの）に、75までなら支払ってもよい、ということです。

ステップ6: よくある誤りを確認する

誤り1: 期待値の効用を期待効用と取り違える

$\sqrt{1{,}300} \approx 36.06$ を期待効用としてしまう誤りです。正しい期待効用は35です。

$36.06 > 35$ となっているのは偶然ではありません。上に凸の効用関数では必ず「期待値の効用 > 期待効用」になります。この不等号が成り立つこと自体が、危険回避的であることの証です。

誤り2: 確実性等価とリスク・プレミアムを逆に引く

$1{,}225 - 1{,}300 = -75$ としてしまう誤りです。定義は「期待値 − 確実性等価」なので、危険回避的な人では正の値になります。

誤り3: 確率を掛け忘れる

$\sqrt{400} + \sqrt{1{,}600} = 60$

ステップ7: 効用関数を変えて確かめる

同じ不確実性に、危険中立的な投資家（$U = W$）が直面した場合はどうなるでしょうか。

• ①期待値: 1,300
• ②期待効用: $(400 \times 0.25) + (1{,}600 \times 0.75) = 1{,}300$
• ③確実性等価: $W = 1{,}300$

期待値と確実性等価が一致し、リスク・プレミアムはゼロになりました。危険中立的な人はリスクに対価を払わない、ということが計算からも確認できます。