代替効果と所得効果

代替効果だけを取り出す作業を、数値で追ってみましょう。

設定 効用関数 $u = xy$、所得 $m = 1{,}200$ 円、$P_y = 200$ 円。X 財の価格が $P_x = 300$ 円から $P_x' = 100$ 円へ下落したとします。

ステップ1: 価格変化前の最適消費点 R を求める

$MRS = \dfrac{y}{x} = \dfrac{300}{200} = 1.5 \quad \Rightarrow \quad y = 1.5x$

予算制約に代入: $300x + 200 \times 1.5x = 1{,}200 \Rightarrow 600x = 1{,}200 \Rightarrow x = 2$、$y = 3$

点 R は $(2, 3)$、効用は $u_1 = 2 \times 3 = 6$ です。

ステップ2: 価格変化後の最適消費点 T を求める

$MRS = \dfrac{y}{x} = \dfrac{100}{200} = 0.5 \quad \Rightarrow \quad y = 0.5x$

予算制約に代入: $100x + 200 \times 0.5x = 1{,}200 \Rightarrow 200x = 1{,}200 \Rightarrow x = 6$、$y = 3$

点 T は $(6, 3)$、効用は $u_2 = 6 \times 3 = 18$ です。

ステップ3: 補助線の条件を書く

補助線は次の2つを満たします。

1. 新しい価格比を反映する: $\dfrac{y}{x} = 0.5 \Rightarrow y = 0.5x$

2. 旧無差別曲線 $u_1 = 6$ に接する: $xy = 6$

ステップ4: 点 S を求める

2つの式を連立します。

$x \times 0.5x = 6 \quad \Rightarrow \quad 0.5x^2 = 6 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 2\sqrt{3} \approx 3.46$

$y = 0.5 \times 3.46 \approx 1.73$

点 S は約 $(3.46, 1.73)$ です。効用を確認すると $3.46 \times 1.73 \approx 6.0$ で、確かに $U_1$ 上にあります。

ステップ5: 代替効果を読み取る

割安になった X 財が増え、相対的に割高になった Y 財が減っています。代替効果の向きの法則どおりです。

ステップ6: 補助線に必要な所得を確かめる

点 S を実現するのに必要な所得を計算してみましょう。新しい価格で評価します。

$100 \times 3.46 + 200 \times 1.73 = 346 + 346 = 692$ 円

実際の所得1,200円より少ない金額です。つまり補助線は、所得を1,200円から692円へ減らしたときの予算線にあたります。

問題 下図は、2つの財（X 財と Y 財）のみを消費する消費者の効用最大化行動を描いたものである。当初の予算制約線は AB で与えられ、効用を最大にする消費量の組み合わせは、無差別曲線 $U_1$ との接点、すなわち座標 $(G, E)$ として与えられている。このとき、X 財の価格が下落し予算制約線が AC へと変化すると、効用を最大にする消費量の組み合わせは無差別曲線 $U_2$ との接点、すなわち座標 $(I, D)$ へと変化する。なお、補助線（破線）は、予算制約線 AC と同じ傾きを持ち、無差別曲線 $U_1$ と接するものとする。補助線と $U_1$ の接点を $(H, F)$ とする。この図の説明として、最も適切なものを選べ。

（平成24年度 第17問 改題）

• ア X 財に生じた所得効果は線分 HI の長さで測られ、Y 財に生じた所得効果は線分 EF の長さで測られる。
• イ X 財の価格の低下は、X 財の消費量の減少を引き起こしている。
• ウ X 財はギッフェン財である。
• エ Y 財に生じた所得効果の絶対値は、Y 財に生じた代替効果の絶対値よりも大きい。
• オ 座標 $(H, F)$ の効用水準は、座標 $(G, E)$ の効用水準よりも低い。

ステップ1: 3つの点を特定する

ステップ2: 3つの効果を対応づける

• 価格効果: 点 J → 点 L
• 代替効果: 点 J → 点 K
• 所得効果: 点 K → 点 L

横軸の値は $G < H < I$、縦軸の値は $F < E < D$ という位置関係です。

補助線と旧無差別曲線の接点が中継点である、という1点さえ押さえておけば、あとは線分を読むだけの作業になります。

ステップ5: 効用水準の判定に注意する

選択肢オのような「効用水準を比べる」設問は頻出です。判定の基準は単純で、

• 同じ無差別曲線上にある → 効用は等しい
• 右上の無差別曲線上にある → 効用が高い

点 R と点 S は必ず同じ無差別曲線上にあるので、効用は必ず等しくなります。点 T だけが別の（より右上の）無差別曲線上にあります。

3つのケースについて、2つの効果を合成してみましょう。

ケース1: X 財が上級財で、X 財の価格が低下

• 代替効果: X 財は割安になった → 消費量は増加
• 実質所得: 価格が下がったので増加
• 所得効果: X 財は上級財なので → 消費量は増加
• 価格効果: 増加 + 増加 = 大きく増加

数値例で見てみましょう。

代替効果 $+4$、所得効果 $+4$、価格効果 $+8$。両方が同じ向きなので、価格効果は大きくなります。

ケース2: X 財が下級財（ギッフェン財ではない）で、X 財の価格が低下

• 代替効果: X 財は割安になった → 消費量は増加
• 所得効果: X 財は下級財なので → 消費量は減少
• 価格効果: 代替効果のほうが大きければ増加

代替効果 $+4$、所得効果 $-2$、価格効果 $+2$。逆向きの効果が打ち消し合い、価格効果は小さくなっています。それでも増加はしているので、需要曲線は右下がりのままです。

ケース3: Y 財が上級財で、X 財の価格が低下（Y 財の価格は一定）

• 代替効果: Y 財は相対的に割高になった → 消費量は減少
• 所得効果: Y 財は上級財、実質所得は増加 → 消費量は増加
• 価格効果: 不明

2つの数値例を並べてみましょう。

代替効果が勝つ場合

代替効果 $-3$、所得効果 $+1$、価格効果 $-2$（減少）。

所得効果が勝つ場合

代替効果 $-3$、所得効果 $+5$、価格効果 $+2$（増加）。

同じ「Y 財が上級財」という条件でも、結果が正反対になりました。だから表では「不明」となっているわけです。

ステップ: 判定手順のまとめ

問題を解くときは、次の順に考えれば迷いません。

1. どちらの財の価格が動いたか、上がったか下がったかを確認する

2. 実質所得が増えたか減ったかを判定する（価格低下なら増加、上昇なら減少）

3. 代替効果の向きを決める（割安なら増加、割高なら減少）

4. 所得効果の向きを決める（財の種類と実質所得の増減から）

5. 2つを合成する（同じ向きなら確定、逆向きなら大小関係を確認）

問題 次の記述について正誤を判断せよ。

「ギッフェン財は下級財であり、価格が低下した場合、代替効果に伴う消費の減少分が所得効果に伴う消費の増加分を上回る。」

（平成23年度 第19問 イ 改題）

ステップ1: 価格が低下したときの代替効果の向きを確認する

価格が低下したのだから、その財は割安になります。代替効果は割安になった財の消費を増やす方向に働きます。

記述では「代替効果に伴う消費の減少分」となっていますが、これが誤りです。

ステップ2: 所得効果の向きを確認する

価格が低下したので実質所得は増加します。ギッフェン財は下級財なので、実質所得が増えれば消費は減少します。

記述では「所得効果に伴う消費の増加分」となっていますが、これも誤りです。

ステップ3: 正しい記述に直す

「ギッフェン財は下級財であり、価格が低下した場合、所得効果に伴う消費の減少分が、代替効果に伴う消費の増加分を上回る。」

答え ×

ステップ4: 数値で確かめる

X 財の価格が低下したケースで、3つのパターンを並べてみましょう。

代替効果はどのケースでも $+4$ で同じです（財の種類に依存しないため）。違いは所得効果にあります。

• 上級財: 所得効果も正
• 下級財: 所得効果は負だが、絶対値が代替効果より小さい（$|-2| < 4$）
• ギッフェン財: 所得効果が負で、絶対値が代替効果より大きい（$|-6| > 4$

価格が下がると消費量も減っています。これを価格と数量の平面に描けば、右上がりの需要曲線になります。

通常の需要曲線が右下がりになるのは、代替効果と所得効果の合計が「価格が下がれば消費が増える」方向になるからです。ギッフェン財はその例外にあたります。

ステップ6: 判定手順のまとめ

図からギッフェン財かどうかを判定するときは、次の1点だけを見ればよいことになります。

点 T が点 R より、価格が下がった財の側（横軸なら左）にあるか

• 点 T が点 R より右 → ギッフェン財ではない
• 点 T が点 R より左 → ギッフェン財

これは「価格効果の向きが逆転しているか」を見ているだけです。点 S の位置は代替効果を確認するためのもので、判定そのものには使いません。

問題 下図には、等費用線が描かれている。縦軸が資本、横軸が労働で、縦軸切片を A、横軸切片を B とする。この等費用線に関する記述として、最も適切なものを選べ。

（平成29年度 第15問）

• ア 資本のレンタル価格が上昇する場合、横軸上の切片 B は不変のままで、縦軸上の切片 A が上方に移動する。
• イ 縦軸上の切片 A は、資本の最大投入可能量を示している。
• ウ 賃金率が上昇する場合、横軸上の切片 B は不変のままで、縦軸上の切片 A が下方に移動する。
• エ 費用が減少すると、等費用線は右方にシフトする。

ステップ1: 等費用線の式を確認する

$K = -\dfrac{w}{r} L + \dfrac{C}{r}$

• 縦軸切片 $= \dfrac{C}{r}$（レンタル価格が分母）
• 横軸切片 $= \dfrac{C}{w}$

ステップ2: 各選択肢を判定する

ア は誤り 資本のレンタル価格 $r$ が上昇すると、縦軸切片 $\frac{C}{r}$ は小さくなるので、切片 A は下方に移動します。上方ではありません。なお横軸切片は $\frac{C}{w}$

イ は正しい 縦軸切片 $\frac{C}{r}$ は、費用のすべてを資本に投入した場合の資本量を表します。これはすなわち資本の最大投入可能量です。

ウ は誤り 賃金率 $w$ が上昇すると、動くのは横軸切片 $\frac{C}{w}$ のほうです。$w$ が大きくなるので横軸切片 B は左方に移動します。縦軸切片は $w$ を含まないので不変です。選択肢は動く切片を取り違えています。

エ は誤り 費用 $C$ が減少すると、縦軸切片 $\frac{C}{r}$ も横軸切片 $\frac{C}{w}$

答え イ

ステップ3: 数値で確かめる

総費用 $C = 120$ 万円、レンタル価格 $r = 20$ 万円、賃金率 $w = 30$ 万円とします。

• 縦軸切片: $\dfrac{120}{20} = 6$（資本6単位）
• 横軸切片: $\dfrac{120}{30} = 4$

レンタル価格が30万円に上昇した場合

• 縦軸切片: $\dfrac{120}{30} = 4$（6から4へ下方に移動）
• 横軸切片: $\dfrac{120}{30} = 4$

賃金率が40万円に上昇した場合

• 縦軸切片: $\dfrac{120}{20} = 6$（変わらない）
• 横軸切片: $\dfrac{120}{40} = 3$

総費用が90万円に減少した場合

• 縦軸切片: $\dfrac{90}{20} = 4.5$
• 横軸切片: $\dfrac{90}{30} = 3$

両切片とも小さくなり、傾きは不変なので左方への平行シフトです。

ステップ4: 費用最小化点を求める

続いて、産出量を一定に保ったまま費用を最小にする組合せを求めてみましょう。

生産関数を $Q = \sqrt{KL}$、産出量を $Q = 6$ に固定します。すると等産出量曲線は

$\sqrt{KL} = 6 \quad \Rightarrow \quad KL = 36$

技術的限界代替率は、この曲線への接線の傾きの絶対値です。$K = \frac{36}{L}$ を微分すると $\frac{dK}{dL} = -\frac{36}{L^2}$

費用最小化条件は「技術的限界代替率 = 要素価格比率」なので

$\dfrac{K}{L} = \dfrac{w}{r} = \dfrac{30}{20} = 1.5 \quad \Rightarrow \quad K = 1.5L$

等産出量曲線に代入すると

$1.5L \times L = 36 \quad \Rightarrow \quad L^2 = 24 \quad \Rightarrow \quad L \approx 4.9$、$K \approx 7.35$

このときの総費用は

$20 \times 7.35 + 30 \times 4.9 = 147 + 147 = 294$ 万円

ステップ5: 他の組合せと比べる

同じ産出量6を実現する別の組合せで費用を計算してみましょう。

確かに $L \approx 4.9$ のところで費用が最小になっています。接点が費用最小化点である、ということが数値でも確認できました。

なお、費用最小化点では資本への支出と労働への支出が等しく147万円ずつになっています。これは生産関数の指数が $K$ と $L$ で等しい（どちらも0.5）ためで、消費者のコブ・ダグラス型効用関数で支出比が指数比になったのと同じ性質です。