外部効果

外部不経済がある市場を数値で分析してみましょう。

設定 アルミニウム市場について、需要曲線 $P = 200 - Q$、私的限界費用 $PMC = Q + 20$ とします。また、生産1単位につき30の外部費用（近隣住民の被害）が発生するとします。

ステップ1: 市場に任せた場合の均衡を求める

需要曲線と $PMC$ の交点です。

$200 - Q = Q + 20 \quad \Rightarrow \quad 2Q = 180 \quad \Rightarrow \quad Q_0 = 90$

価格は $P_0 = 200 - 90 = 110$ です。

ステップ2: 社会的限界費用を求める

$SMC = PMC + \text{限界外部費用} = (Q + 20) + 30 = Q + 50$

ステップ3: 社会的に望ましい生産量を求める

需要曲線と $SMC$ の交点です。

$200 - Q = Q + 50 \quad \Rightarrow \quad 2Q = 150 \quad \Rightarrow \quad Q_1 = 75$

このときの価格（需要曲線上）は $P_1 = 200 - 75 = 125$ です。

ステップ4: 過大であることを確認する

市場に任せると90つくられますが、社会的に望ましいのは75です。15だけ過大に生産されています。

ステップ5: なぜ過大なのかを数値で確かめる

生産量が80のときを考えてみましょう。

• 消費者の評価（需要曲線）: $200 - 80 = 120$
• 生産者が負担する費用（$PMC$）: $80 + 20 = 100$

前のテーマの設定で、余剰を計算してみましょう。

設定 需要曲線 $P = 200 - Q$、$PMC = Q + 20$、限界外部費用30（したがって $SMC = Q + 50$）。

• 市場均衡: $Q_0 = 90$、$P_0 = 110$
• 社会的に望ましい水準: $Q_1 = 75$

ケース1: 取引を市場に任せた場合（$Q_0 = 90$）

消費者余剰

$\dfrac{(200 - 110) \times 90}{2} = \dfrac{90 \times 90}{2} = 4{,}050$

生産者余剰

$\dfrac{(110 - 20) \times 90}{2} = \dfrac{90 \times 90}{2} = 4{,}050$

外部不経済

$30 \times 90 = 2{,}700$

社会的総余剰

$4{,}050 + 4{,}050 - 2{,}700 = 5{,}400$

ケース2: 社会的に望ましい生産量の場合（$Q_1 = 75$）

この場合、価格は需要曲線上の $P_1 = 125$ になります。

消費者余剰

$\dfrac{(200 - 125) \times 75}{2} = \dfrac{75 \times 75}{2} = 2{,}812.5$

生産者余剰

生産者が受け取る価格は125、$PMC$ の切片は20なので

$\dfrac{(125 - 20) + (125 - 95)}{2} \times 75$

計算しやすいように整理しましょう。$Q = 75$ のときの $PMC = 95$ なので、生産者余剰は台形になります。

$\dfrac{(125 - 20) + (125 - 95)}{2} \times 75 = \dfrac{105 + 30}{2} \times 75 = 67.5 \times 75 = 5{,}062.5$

外部不経済

$30 \times 75 = 2{,}250$

社会的総余剰

$2{,}812.5 + 5{,}062.5 - 2{,}250 = 5{,}625$

ステップ: 2つを比べる

社会的に望ましい水準のほうが225だけ大きくなっています。

ステップ: 死荷重を三角形で確かめる

外部性による死荷重は、$Q_1$ から $Q_0$ までの区間で $SMC$ が需要曲線を上回る部分の面積です。

前の設定にピグー税を課して、社会的に望ましい水準が実現することを確かめましょう。

設定 需要曲線 $P = 200 - Q$、$PMC = Q + 20$、限界外部費用30。

• 市場均衡: $Q_0 = 90$
• 社会的に望ましい水準: $Q_1 = 75$

ステップ1: ピグー税の額を決める

ピグー税は「社会的限界費用と私的限界費用の乖離分」なので、税額は限界外部費用と同額の30です。

ステップ2: 課税後の私的限界費用を求める

$PMC' = (Q + 20) + 30 = Q + 50$

これは $SMC$ と一致します。つまり、工場が直面する費用曲線が社会的限界費用と同じになりました。

ステップ3: 課税後の均衡を求める

$200 - Q = Q + 50 \quad \Rightarrow \quad Q = 75$

社会的に望ましい生産量75が実現しました。

消費者が支払う価格は $P = 200 - 75 = 125$、生産者が受け取る価格は $125 - 30 = 95$ です。

ステップ4: 課税後の余剰を計算する

消費者余剰

$\dfrac{(200 - 125) \times 75}{2} = 2{,}812.5$

生産者余剰（受取価格95で計算）

$\dfrac{(95 - 20) \times 75}{2} = \dfrac{75 \times 75}{2} = 2{,}812.5$

政府余剰（税収）

$30 \times 75 = 2{,}250$

外部不経済

$30 \times 75 = 2{,}250$

社会的総余剰

$2{,}812.5 + 2{,}812.5 + 2{,}250 - 2{,}250 = 5{,}625$

ステップ5: 比較する

ピグー税によって社会的総余剰が225増えました。これは前のテーマで求めた死荷重とちょうど同じ額です。つまり死荷重が完全に解消されたことになります。

ステップ6: 誰が得をして誰が損をしたか

• 消費者: $4{,}050 \to 2{,}812.5$（1,237.5の減少）
• 生産者: $4{,}050 \to 2{,}812.5$（1,237.5の減少）
• 政府: $0 \to 2{,}250$

ステップ8: 排出権取引の考え方

排出権取引では、まず政府が総排出量の上限を決めます。たとえば「この地域全体で75単位まで」と定めます。

そのうえで、75単位分の排出権を企業に配分し、売買を認めます。

排出権の価格が20だとすると、A社は10の費用で削減して20で売るので10の利益、B社は50かけて削減するより20で買うほうが安いので30の節約になります。

結果として、削減費用の安いA社が多く削減し、社会全体では最も安い費用で目標を達成できます。直接規制で「全社一律に20%削減」と命じるより効率的だ、というのが排出権取引の利点です。

工場と漁師の交渉を、数値で追ってみましょう。

設定 工場の生産量を $Q$ とし、

• 工場の利潤（生産による純便益）: 生産量を1単位増やすごとに得られる利益は $50 - Q$
• 漁師の被害: 生産量を1単位増やすごとに生じる損害は30

（つまり工場にとっての限界的な利益が $50 - Q$、限界外部費用が30です。）

ステップ1: 社会的に望ましい生産量を求める

社会全体の純便益が最大になるのは、限界的な利益と限界的な損害が一致する水準です。

$50 - Q = 30 \quad \Rightarrow \quad Q = 20$

社会的に望ましい生産量は20です。

ステップ2: 市場に任せた場合を求める

工場は自分の利益だけを考えるので、限界的な利益がゼロになるまで生産します。

$50 - Q = 0 \quad \Rightarrow \quad Q = 50$

市場に任せると50まで生産されます。社会的に望ましい20より過大です。

ステップ3: ケース1（工場に権利がある場合）を分析する

工場には汚染する権利があるので、放っておけば50まで生産します。漁師は補償金を払って減らしてもらうしかありません。

生産量を50から1単位減らしてもらうと

• 漁師の利益: 30（被害が減る）
• 工場の損失: $50 - 50 = 0$（50単位目の限界利益はゼロ）

漁師は30の利益を得るために、0より少し多い額を払えば工場は応じます。したがって取引が成立します。

生産量を21単位目まで減らすと

• 漁師の利益: 30
• 工場の損失: $50 - 21 = 29$

まだ漁師のほうが得なので、交渉は成立します。

生産量を20単位目まで減らそうとすると

• 漁師の利益: 30
• 工場の損失: $50 - 20 = 30$

ちょうど釣り合うので、ここで交渉は止まります。

結果: 生産量は20（社会的に望ましい水準）

ステップ4: ケース2（漁師に権利がある場合）を分析する

漁師には汚染を止めさせる権利があるので、放っておけば生産量はゼロです。工場は補償金を払って生産の許可を得ます。

1単位目を生産するには

• 工場の利益: $50 - 1 = 49$
• 漁師の損害: 30

工場は49の利益のために30より多い額を払えるので、交渉は成立します。

20単位目では

• 工場の利益: $50 - 20 = 30$
• 漁師の損害: 30

ちょうど釣り合うので、ここで止まります。

結果: 生産量は20（社会的に望ましい水準）

ステップ5: 2つのケースを比べる

どちらに権利を与えても、最終的な生産量は20で同じになりました。これがコースの定理の結論2です。

ステップ6: 所得分配は変わる

生産量は同じでも、お金の流れは正反対です。

• ケース1: 漁師が工場に補償金を支払う → 漁師の負担が大きい
• ケース2: 工場が漁師に補償金を支払う → 工場の負担が大きい

つまり、誰に権利を与えるかは所得分配を変えるだけであり、資源配分（生産量）には影響しません。

ステップ7: 前提が崩れる場合を考える

もし漁師が1人ではなく1,000人いたらどうなるでしょうか。

• 全員で足並みをそろえて交渉する必要がある
• 「自分は払わなくても他の人が払ってくれるだろう」と考える人が出る（ただ乗り）
• 交渉自体に多大な時間と費用がかかる

この場合、自発的交渉による解決は難しくなります。だから大気汚染や地球温暖化のような問題では、政府による規制や課税が必要になるのです。

コースの定理は「交渉費用がかからない」という前提のもとでの話である、という点を必ず確認してください。