債券価格の算定

計算例

現在、10,000円の投資を金利8%で3年間運用した場合の3年後の受取金額を①単利計算、②複利計算で求めてみましょう（小数点第1位を四捨五入）。

①単利で計算する場合

$$3年後の受取金額 ＝ 10,000円 \times (1 ＋ 0.08 \times 3) ＝ 10,000 \times 1.24 ＝ 12,400（円）$$

②複利で計算する場合

$$3年後の受取金額 ＝ 10,000円 \times (1 ＋ 0.08)^3 ≒ 12,597（円）$$

差は197円。3年程度なら小さく見えますが、期間が長くなるほど差は急速に開きます。10年なら単利18,000円に対し複利21,589円、20年なら単利26,000円に対し複利46,610円です。複利は時間を味方につけるということがよくわかります。

計算例

現在、10,000円を3か月複利（年利8%）で3年間運用した場合の3年後の受取金額を求めてみましょう（小数点第1位を四捨五入）。

3か月複利ということは、1年間に4回運用することになるので、

$$3年後の受取金額 ＝ 10,000 \times \left(1 ＋ \frac{0.08}{4}\right)^{4 \times 3} ＝ 10,000 \times (1.02)^{12} ≒ 12,682（円）$$

答えは12,682円です。1年複利の12,597円より85円多くなっています。同じ年利でも、利息が付く回数が多いほど受取額は増えるということです。

考え方を整理する

元本10,000円に対して年利rで3年運用すると、10,000 ×（1＋r）×（1＋r）×（1＋r）＝ 10,000 ×（1＋r）³ となります。ここで、利息計算のタイミングが3回であることに注目しましょう。

仮に4か月複利計算を行うとすれば、4か月ごとに利息を計算するので年3回の利息計算が行われ、3年間で3×3＝9回の利息計算が行われることになります。

では、4か月ごとに行う金利計算において、利率はどのように考えればよいでしょうか。年利は1年分の利息なので、4か月では $\frac{4}{12}$ しか利息がつかないことになります。年利をrとすれば、$r \times \frac{1}{3}$

$r \times \frac{1}{3}$ の金利で9回の計算を行う場合、その計算式は $10,000 \times \left(1 ＋ r \times \frac{1}{3}\right)^9$

金利をどう調整するか、何乗で計算すればよいかがポイントです。