時間価値の計算

逆向きにそろえる

将来にそろえる比べ方も間違いではありません。ただし設備投資の計算では、いまの時点にそろえるほうが一般的です。そこで上の式を裏返します。

$$現在価値 ＝ \frac{将来価値}{1 ＋ 金利}$$

1年後の21,000円を当てはめると、いまの値打ちは約19,091円。20,000円には届きません。さきほどと同じ結論に、逆向きからたどり着きました。

何年も先のとき

1年後なら分母は「1 ＋ 金利」ですが、何年も先になると分母が変わります。まとめるとこうです。

$$現在価値 ＝ \frac{将来価値}{(1 ＋ 金利)^n}$$

こうして将来のお金をいまの値打ちに直すことを「現在価値に割り引く」といいます。直したあとの金額が割引現在価値、そのとき使った年利が割引率です。

答え：①133.1万円　②75.13万円

①は 100 →（×1.1）→ 110 →（×1.1）→ 121 →（×1.1）→ 133.1

②は 100 × 0.7513（3年目の複利現価係数）＝ 75.13

係数を使わずに書けば、こうなります。

$$\frac{100}{(1 ＋ 0.1)^3} ≒ 75.13$$

未来へ進むときは掛け、いまへ戻るときは割る。この行き来を体に入れておきましょう。

各項にある $\frac{1}{(1＋r)^n}$ が、n年目の複利現価係数です。

年金現価係数

こちらは、毎年きまった額が何年か続けて入ってくる場合に、まとめて引き戻すための倍率です。

毎年の金額が同じなら、式はこう書けます。

$$現在価値 ＝ CF \times \left\{ \frac{1}{1＋r} ＋ \frac{1}{(1＋r)^2} ＋ \cdots ＋ \frac{1}{(1＋r)^n} \right\}$$

中括弧でくくった部分が、n年の年金現価係数です。

2つはつながっている

式を見比べれば分かるとおり、年金現価係数は複利現価係数を1年目からn年目まで足し上げたものです。この関係を知っていれば、片方から他方を引き出せます。

$$n年の年金現価係数 ＝ 1年目の複利現価係数 ＋ 2年目の複利現価係数 ＋ \cdots ＋ n年目の複利現価係数$$

ひっくり返せば、

$$n年目の複利現価係数 ＝ n年の年金現価係数 − (n−1)年の年金現価係数$$

この引き算は、そのままの形で試験に出ます。

決済はStripe（世界最高水準・PCI-DSS準拠）で安全に処理されます。カード情報は当サービスに保存されません。

いっぽう、欲しいのは $\frac{1}{(1＋0.08)^2}$ の部分だけ。であれば、2年の年金現価係数から1年の年金現価係数を引けば取り出せます。

$$1.7833 − 0.9259 ＝ 0.8574$$

答えは0.8574です。年金現価係数の表しか手元になくても、引き算ひとつで複利現価係数が作れる。この一手を知っているかどうかが、解けるか解けないかの分かれ目になります。