商圏分析

式を立てるときに迷うのは、a と b の上下 です。人口は $Pa/Pb$ とaが上に来ますが、距離は $Db/Da$ と b が上 になります。

ひっくり返っている理由は「反比例」にあります。人口は多いほど引きつけるので、そのまま分子。距離は遠いほど弱まるので、逆にして分子へ回す。比例はそのまま、反比例はひっくり返す と覚えておけば、迷いません。

ライリー＆コンバースの法則

コンバースはライリーの法則を使って、2つの都市の商圏分岐点 を求められるようにしました。これが ライリー＆コンバースの法則 です。

商圏分岐点 とは、ライリーの式で $Ba/Bb = 1$ となる地点を指します。AとBのどちらへ引かれる力も釣り合う、ちょうど境目にあたる場所です。

$$Da = \frac{Dab}{1 + \sqrt{\dfrac{Pb}{Pa}}} \qquad あるいは \qquad Db = \frac{Dab}{1 + \sqrt{\dfrac{Pa}{Pb}}}$$

取り違えを防ぐ手がかり があります。求めたいのが $Da$ ならルートの中の 分母 を $Pa$ に、$Db$ なら分母を $Pb$ にする。左辺の添え字と、ルートの分母の添え字をそろえる だけです。

なぜその形になるのかも、押さえておくと忘れません。人口の大きい都市ほど、分岐点は自分から遠い場所にできます（引く力が強いので、境目を相手側へ押し込める）。$Da$ を大きくするには分母を小さくすればよく、そのためには $Pa$ を分母に置くことになります。

求めたいのはDb（B市側）なので、ルートの分母はPbにそろえます。

$$Db = \frac{32\text{km}}{1 + \sqrt{\dfrac{18}{2}}} = \frac{32}{1 + 3} = \frac{32}{4} = 8\text{km}$$

答えは8kmです。

2つの計算例は同じ条件

気づいたでしょうか。この設例は、前のライリーの法則の設例と同じ条件です。A市18万人、B市2万人、A市とB市の距離は 24 ＋ 8 ＝ 32km。そして先ほどC市での吸引割合が1:1になった、つまりC市が商圏分岐点だったわけです。

C市はB市から8km。今回の計算でもDb＝8km。ぴったり一致しました。両者の法則はまったく同じ理論であることが、これで確かめられます。

ライリーの法則を変形して $Ba/Bb = 1$ と置いて解いたのがライリー＆コンバースの法則だ、と理解しておけば、式を忘れても導き直せます。

小都市側の人口だけ記号が $Hb$ と変わっているのは、H が Home Town を指しているためです。自分の街に残る分、という含みが記号に込められています。

慣性因子の 4 には但し書きが付きます。これはコンバースが調べた地区の平均値にすぎず、どこでも妥当とは限りません。この一文がそのまま出題されることがあるので、「4は絶対的な定数ではない」と覚えておいてください。

ハフモデル

ライリーもコンバースも、都市と都市を比べていました。ハフモデル は視点を下げ、買い物客が個々の店舗を選ぶ確率（吸引率） を出します。

前提にしているのは、だれもが思い当たる傾向です。大きい店のほうが行きたくなる。ただし、近いほうがありがたい。 これを式にすると、ある店舗を選ぶ確率は 売場面積に比例し、距離に反比例する という形になります。

$$店舗Aの吸引率 = \frac{\dfrac{店舗Aの売場面積}{居住地と店舗Aの距離^{\lambda}}}{\dfrac{店舗Aの売場面積}{居住地と店舗Aの距離^{\lambda}} + \dfrac{店舗Bの売場面積}{居住地と店舗Bの距離^{\lambda}} + \cdots + \dfrac{店舗nの売場面積}{居住地と店舗nの距離^{\lambda}}}$$

分母に候補となる店をすべて並べ、そのうち店舗Aが占める割合を出す ── つまり 取り合いの中でAが何割を取るか という形です。$\lambda$（ラムダ）は 距離の抵抗係数 を表します。

距離の抵抗係数は、商品によって変わる

抵抗係数は、遠くまで出かけることをどれだけ面倒に感じるか を数値にしたものです。買う物によって、その面倒さが変わります。

なお、修正ハフモデルでは抵抗係数に 2 を用います。

大小が逆に感じられて間違えやすいところなので、理屈で押さえてください。牛乳1本のために隣町へ行く人はまずいません ── 距離が強く効くので係数は 大きい。一方、スーツや家具なら、品揃えのよい店へ多少遠くても足を運びます ── 距離があまり効かないので係数は 小さい。

係数が大きい＝距離に負けやすい、と読み替えると取り違えません。